پرسش‌های ترکیبیات، شمارش سطح۲ - سری۱

۱- مجموعه‌های A1 و A2 و A3 و ... Am همگی زیرمجموعه‌های n عضوی از مجموعه‌ی S هستند و می‌دانیم مقدار m از 2n-1 کوچک‌تر است. ثابت کنید هر یک از عضوهای مجموعه‌ی S را می‌توان با دو رنگ آبی و قرمز چنان رنگ کرد که هر کدام از مجموعه‌های Ai حتما عضوهایی از هر دو رنگ داشته باشد.

۲- اگر S مجموعه‌ای n عضوی باشد تعداد زوج مرتب‌های مانند (A, B) را بیابید که A و B هر دو زیرمجموعه‌های متمایز از S باشند و مجموعه‌ی A زیرمجموعه‌ی B باشد.
۳- تعداد چند تایی مرتب‌هایی مانند (A1, A2, A3, ..., Am) را بیابید که مجموعه‌های A1 و A2 و A3 و ... Am همگی زیرمجموعه‌های مجموعه‌ی n عضوی S باشند و اجتماع مجموعه‌های A1 و A2 و A3 و ... Am برابر با S باشد.
۴- اگر S مجموعه‌ای با p عضو باشد و چند تایی مرتب‌هایی مانند (A1, A2, A3, ..., Am) که به ازای هر K بین 1 و m-1 مجموعه‌ی Ak زیرمجموعه‌ی Ak+1 باشد را خوب بنامیم، تعداد چند تایی (m تایی) مرتب‌های خوب را پیدا کنید.