پرسش‌های ترکیبیات، شمارش سطح۱ - سری۳

فکر کنید. چرا این راه درست نیست؟ اگر همه‌ی نابرابری‌ها اکید بودند (مساوی نداشتند.) کار ساده بود. از عددهای 1 تا n تعداد k تا انتخاب می‌کردیم و مرتبشان می‌کردیم. به همین سادگی پاسخ برابر انتخاب k از n می‌بود.
حالا که برابری هم ممکن است باید جوری انتخاب کنیم که k عدد انتخاب شده بتوانند با هم برابر باشند. پس خیلی سرراست به n حالت یکی را انتخاب می‌کنیم. عدد دیگر را باز هم از همه‌ی عددهای 1 تا n انتخاب می‌کنیم تا امکان داشته باشد که با عددی که پیش‌تر انتخاب کردیم برابر بشود. پس در این حالت هم n حالت قابل تصور است. به همین ترتیب عددهای دیگر را از 1 تا n انتخاب می‌کنیم که روشن است k مرحله داریم و هر مرحله n جور امکان‌پذیر است. بنا بر اصل ضرب تعداد حالت‌های انتخاب در کل برابر n^k خواهد بود. حالا که عددها را داریم کافی است آن‌ها را مرتب کنیم تا دنباله‌ی خواسته شده ساخته شود. این کار تنها یک جور شدنی است. پس پاسخ همان n^k است.

به چند روش می‌توان عددهای طبیعی a₁ تا a₁₀₀ را چنان یافت که نابرابری‌های زیر درست باشند؟