قضیّه‌ی فیثاغورس (بخش ۱)

صورت قضیّه‌ی  «در مثلّث قائم‌الزّاویه مجموع مربّع طول دو ضلع قائمه برابر است با مربّع طول وتر.»
راستی در مثلّث قائم‌الزّاویه ضلع روبرو به زاویه‌ی قائمه را وتر می‌نامند.
بدترین روایتی که من به جای قضیّه‌ی فیثاغورس شنیده‌ام: «در مثلّث قائم‌الزّاویه داریم »
متاسّفانه این جا کلاس نیست و نمی‌توانیم بیان‌های همدیگر را از قضیّه بشنویم و موشکافی کنیم. امّا خودتان تلاش کنید در فضای مجازی چنین فعّالیّتی را انجام دهید. تازه‌کار نیستید. پیش‌تر بارها کار مشابهی را انجام داده‌ایم.
موضوع تاریخی این قضیّه را به خودتان واگذار می‌کنم و در عوض خاستگاه این قضیّه را در گفتگوهای گذشته‌ی خودمان نشانتان می‌دهم. یادتان هست؟ یک بار به این پرداختیم که «آیا عددی هست که حاصل ضرب آن در خودش برابر با ۲ بشود؟»
یادم هست که تلاش‌های جبری شما به جایی نرسید و هندسه به دادتان رسید. عدّه‌ای در کلاس به روش‌های گوناگون توانستند مربّعی معرّفی کنند که مساحت آن برابر با ۲ باشد. سپس نتیجه گرفتند که طول ضلع این مربّع همان عددی است که در پیَش می‌گشتیم. ساده‌ترین روش را به یاد دارید؟

شکل الف

دو مربّع به ضلع یک گرفتند و به سادگی هر کدام را از قطر دو تکّه کردند. سپس این چهار  تکّه را مانند شکل الف کنار هم چیدند تا یک مربّع بزرگ‌تر ساخته شد. خیلی سرراست استدلال کردند که (اوّلا مربّع بزرگ‌تر  واقعا مربّع است) مساحت مربّع بزرگ‌تر  برابر با ۲ است پس طول ضلع آن همان عدد خواسته شده است.
این جا همان جا است. ذهن کنجکاو در این جا می‌پرسد اگر مثلّث‌هایی که کنار هم چیدیم، متساوی‌السّاقین نباشند چه کنیم؟ آیا می‌توانیم با این جور مثلّث‌ها کاری از پیش ببریم؟ به کجا خواهیم رسید؟ نخست تلاش می‌کنیم تا مانند شکل الف چهار راس قائمه‌ی مثلّث‌ها را یک جا بگذاریم و مثلّث‌ها را کنار هم بچینیم.

شکل ب

گویا به جایی نرسیدیدم. شکل ب چیز ویژه‌ای با خود نیاورده است. گرچه شاید برخی یک مربّع در آن دیده باشند.
بگذریم. جور دیگر فکر کنیم. یادتان هست؟ گاهی از شما می‌خواهم که با محدودیّت‌هایی یک شکل را به طور شفاهی توصیف کنید تا دیگری آن را به درستی و همان جور تصوّر کند. حالا هم همین را از شما می‌خواهم. توصیف کلامی من از شکل الف را بار دیگر بخوانید و این بار تلاش کنید که شما شکل الف و چیده شدن چند مثلّث در کنار هم را جور دیگری توصیف کنید.
خب تلاش من را بخوانید.
راه نخست
در شکل الف دو گوشه از دو مثلّث جوری در کنار هم چیده شده اند تا یک زاویه‌ی قائمه پدیدار شود. سپس همین کار در گوشه‌های دیگر تکرار شده است تا یک چهار ضلعی با زاویه‌های قائمه ساخته شود. پس تلاش می‌کنیم تا با مثلّث‌های شکل ب نیز چنین کنیم.

شکل پ

این شکل دو تا مربّع برایمان آورده است. دیگر چه می‌خواهید؟
اگر طول ضلع‌های قائمه‌ی مثلّث ABC را از بزرگ به کوچک c و b بنامیم، به سادگی طول ضلع مربّع ADFH برابر با c-b خواهد بود. پس مساحت مربّع BCGE چنین محاسبه می‌شود.

شکل ت

شاید این شکل شما را مایوس کند و بگویید زاویه‌ی قائمه‌ی CBE بیرون شکل است و زاویه‌ای از یک چند ضلعی نیست. ولی باور کنید که در همین شکل می‌توانید یک استدلال زیبا برای قضیّه‌ی فیثاغورس پیدا کنید.

تمرین‌ها
۱- هوشنگ متوجّه شده است که 3² +4²=5² است. بنا بر این او گفته است «زاویه‌ی روبرو به ضلع به طول ۵ در مثلّثی که طول ضلع‌های آن ۳ و ۴ و ۵ باشد،بنا بر قضیّه‌ی فیثاغورس قائم‌الزّاویه است. » دیدگاه شما در باره‌ی این جمله‌ی هوشنگ چیست؟

۲- دست کم ۵ دسته عدد سه تایی طبیعی بیابید که مانند سه تایی ۳ و ۴ و ۵، مربّع یکی از آن‌ها برابر مجموع مربّع‌های دو دیگر باشد.

۳- در شکل ت یک ذوزنقه ببینید و مساحت آن را حساب کنید و یک استدلال دیگر برای درستی قضیّه‌ی فیثاغورس پیدا کنید.

۴- عکس قضیّه‌ی فیثاغورس را بیان کنید. پرس و جو کنید که عکس قضیّه‌ی فیثاغورس درست است یا نه. اثبات این درستی یا نادرستی را نبینید و نخوانید. کار داریم.

۵-مصری‌های باستان به کمک یک طناب و این که است، در ساختمان سازی زاویه‌های قائمه می‌ساختند. به نظر شما با آن طناب چه می‌کردند؟ روی طناب چه نشان‌هایی می‌زدند؟

۶- اگر وتر مثلّث قائم‌الزّاویه‌ای دو برابر یکی از ضلع‌های قائمه طول داشته باشد، نسبت طول ضلع‌های قائمه چه قدر است؟

۷- در مثلّث قائم‌الزّاویه طول ارتفاع وارد بر وتر را بر حسب طول ضلع‌های قائمه پیدا کنید.

۸- در مثلّث قائم‌الزّاویه‌ای که طول ضلع‌های قائمه‌ی آن ۳ و ۴ است، ارتفاع وارد بر وتر روی وتر دو پاره خطّ جدید ساخته است. طول هر یک از این پاره خط‌ها را پیدا کنید.


تمرین‌های اختیاری

۹-در مثلّث قائم‌الزّاویه طول پاره‌خط‌های که ارتفاع وارد بر وتر روی وتر می‌سازد را بر حسب طول ضلع‌های قائمه پیدا کنید. **

۱۰- در مثلّث قائم‌الزّاویه طول میانه‌ی وارد بر وتر را بر حسب طول ضلع‌های قائمه پیدا کنید. **

۱۱- اگر b و c طول ضلع‌های قائمه‌ی مثلّث قائم‌الزّاویه و h طول ارتفاع وارد بر وتر آن باشد،رابطه‌ی را  ثابت کنید. **

۱۲- در باره‌ی مثلّث قائم‌الزّاویه‌ای فکر کنید که طول ضلع‌های آن عکس طول ضلع‌های قائمه‌ی مثلّث قائم‌الزّاویه‌ی دیگری باشد. **

۱۳- در مثلّث قائم‌الزّاویه‌ی متساوی‌السّاقین نسبت طول وتر به طول ضلع قائمه چه قدر است؟ *

۱۳- آیا ممکن است در یک مثلّث قائم‌الزّاویه طول یکی از ضلع‌های قائمه دو واحد کم‌تر از طول وتر باشد؟ اگر چنین مثلّثی هست طول ضلع‌های آن چه قدر است؟ *

۱۴-  آیا ممکن است در یک مثلّث قائم‌الزّاویه نسبت طول ضلع‌های قائمه ۳ (t) باشد؟ اگر چنین مثلّثی هست طول ضلع‌های آن چه قدر است؟ * (**)

۱۵-   آیا ممکن است در یک مثلّث قائم‌الزّاویه طول وتر ۳ (t) برابر طول یکی از ضلع‌های قائمه باشد؟ اگر چنین مثلّثی هست طول ضلع‌های آن چه قدر است؟ * (**)