اثبات قضیّه‌ی فیثاغورس راه 3

یک شکل خوب بکشید.

به جای مساحت مربّع‌ها، به نصف مساحت مربّع‌ها توجّه کنید. در واقع حکم را کمی تغییر می‌دهیم و ثابت می کنیم نصف مساحت مربّع ABDE به علاوه‌ی نصف مساحت مربّع ACFG برابر با نصف مساحت مربّع BCJK است.
تعجّب نکنید. فوت و فنّ حلّ مساله همین جوری است. اگر بتوان به این روش مساله را حل کرد، خب چرا این جوری فکر نکنیم؟
خب فکر کنید و ببینید نصف مساحت مربّع‌ها را در شکل می‌بینید؟ مثلا به راحتی و بدون این که نقطه‌ی جدیدی در شکل نام‌گذاری کنیم، هفت مثلّث می‌توان یافت که هر کدام نصف مربّع ABDE مساحت داشته باشند. چهار تا از آن‌ها را باید خیلی زود ببینید. بعد تلاش کنید پنجمی را ببینید. اگر پنجمی را ندیدید راهنمایی بعدی را نگاه کنید.

هر یک از قطرهای مربّع ABDE آن را به دو مثلّث بخش می‌کند. یعنی مثلّث‌های BEA و BED و ADB و ADE هر یک نصف مربّع ABDE مساحت دارند. حالا مثلّث پنجم را پیدا کنید. این را هم بدانید که مثلّث پنجم یکی از ضلع‌هایش همان ضلع مربّع است. پس شما به طول ارتفاعش فکر کنید و پیدایش کنید.

چنان که در شکل زیر می‌بینید همه‌ی نقطه‌های روی AB از ضلع BD به یک فاصله هستند. امّا نمی‌خواهیم نقطه‌ی جدیدی معرّفی کنیم. ببینید در همین شکل نقطه‌ی دیگری هست که از BD همین فاصله را داشته باشد؟

زنده باد. مثلّث DBC نیز نصف مربّع ABDE مساحت دارد چون خط‌های EC و BD موازی هستند و فاصله‌ی C از BD همان فاصله‌ی E از BD است.
خب اکنون دنبال مثلّث ششم باشد. می‌خواهیم این نصف مساحت را به بخشی از مربّع BCJK ربط بدهیم. مثلّث ششم از همه جالب‌تر است. مثلّث ششم با مثلّث DBC هم‌نهشت است. پیدایش کنید.

برای این که مثلّثی هم‌نهشت با مثلّث DBC پیدا کنید ضلع‌های این مثلّث را رنگ کنید و به دنبال پاره‌خط‌های هم طول با ضلع‌های این مثلّث بگردید.

یک کار خوب برای پیدا کردن مثلّث هم‌نهشت با مثلّث مفروض این است که پاره‌خط‌های هم طول با ضلع‌های مثلّث مفروض را رنگ کنیم. ببینید. شاید بتوانید در شکل زیر مثلّث هم‌نهشت را ببنید.

دو مثلّث ABK و DBC هم‌نهشت اند. رنگ ضلع‌هایشان گواهی می‌دهد. این هم‌نهشتی را ثابت کنید و تلاش کنید تا پی ببرید که مساحت مثلّث ABK چه ربطی به مساحت مربّع BCJK دارد.

برای پیدا کردن مثلّث بعدی (که با مثلّث ABK هم مساحت است.) از همان ترفند پیشین کمک بگیرید. دنبال قاعده‌های یکسان و ارتفاع‌هایی با طول‌های برابر باشید.

همان جور که در شکل زیر می‌بینید مثلّث BKH با مثلّث ABK هم مساحت است. هر دو در ضلع BK مشترک هستند و ارتفاع وارد بر همین ضلع در دو مثلّث مشترک نیست ولی طولی برابر دارند. (چرا؟)

خب کار بزرگی انجام داده‌ایم. نصف مساحت مربّع ABDE برابر با نصف مساحت مستطیل BHLK است. (چرا؟) شبیه همین حکم را برای مربّع ACFG بیان و اثبات کنید.